Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+c在x=2處取得極值為c-16．
（1）求a、b的值；
（2）若c=12，求f（x）在[-3，3]上的最大及最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（2），f′（2）的值，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值，確定函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）因f（x）=ax³+bx+c，
故f'（x）=3ax²+b（2分）
由于f（x）在點x=2處取得極值
故有$\left\{{\begin{array}{l}{f'（2）=0}\\{f（2）=c-16}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{12a+b=0}\\{8a+2b+c=c-16}\end{array}}\right.$，（6分）
化簡得$\left\{{\begin{array}{l}{12a+b=0}\\{4a+b=-8}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-12}\end{array}}\right.$（8分）
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+12，f'（x）=3x²-12
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=2（10分）
當x∈（-∞，-2）時，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-2）上為增函數(shù)；
當x∈（-2，2）時，f'（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上為減函數(shù)
當x∈（2，+∞）時f'（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)．（13分）
由此可知f（x）在x₁=-2處取得極大值f（-2）=28，
f（x）在x₂=2處取得極小值f（2）=-4
此時f（-3）=21，f（3）=3（15分）
因此f（x）上[-3，3]的最大值為f（-2）=28，最小值為f（2）=-4（16分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．