Question

【題目】已知曲線，曲線，且與的焦點之間的距離為，且與在第一象限的交點為．

(1)求曲線的方程和點的坐標；

(2)若過點且斜率為的直線與的另一個交點為，過點與垂直的直線與的另一個交點為．設，試求取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ， (2) ，

【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知求得的焦點坐標,根據(jù)兩條曲線的焦點距離列方程,可求得曲線焦點的坐標,進而求得拋物線方程.聯(lián)立拋物線方程和橢圓方程,解方程組求得點的坐標.(2)當直線斜率不存在時,求得兩點的坐標,進而求得的值.當直線的斜率存在時,設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,解出點的坐標.同理聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,解出點的坐標,利用弦長公式求得的長度,最后求得得取值范圍.

試題解析:

(1)曲線C1的焦點坐標為，曲線C2的焦點坐標為，由與的焦點之間的距離為2，得，解得，∴的方程為．

由，解得，

(2)當直線的斜率不存在時，

由題意可知， ， ， 則，

當直線AB的斜率存在時，

∴設直線AB的方程為y﹣1=k（x﹣2），即y=kx﹣2k+1，

由，得（2k2+1）x+4k（1﹣2k）x+2（1﹣2k）2﹣6=0

則，∵xA=2，∴，

又直線AC的方程為，由，得，則，∵xA=2，∴，

，

同理，------9分

，-

即．

綜上所述：