Question

已知三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時(shí)取極值，且f（-2）=-4．
（1）求a與b的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時(shí)取極值，說(shuō)明方程f′（x）=0的兩個(gè)根為1和-1，求出a與b，
（2）再代入f（-2）=-4，求出c值，求出f（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出極值；

解答： 解：（1）∵三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時(shí)取極值，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴

f′(1)=0 f′(-1)=0

可得

3+2a+b=0 3-2a+b=0

解得

a=0 b=-3

；
（2）由（1）知f（x）=x³-3x+c，
∵f（-2）=-4，可得（-2）3-3×（-2）+c=0，解得c=2，
∴f（x）=x³-3x+2；
∵f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
若f′（x）＞0即x＞1或x＜-1，f（x）為增函數(shù)，
若f′（x）＜0即-1＜x＜1，f（x）為減函數(shù)，
f（x）在x=-1處取得極大值，在x=1處取得極小值，
f（x）_極大值=f（-1）=-1+3+2=4，f（x）_極小值=f（1）=1-3+2=0；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及掌握不等式的解法．這是高考必考的考點(diǎn)；