Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在側(cè)棱CC₁上，NM⊥AB₁．
（1）求證：平面AB₁M⊥平面AMN；
（2）求異面直線B₁N與AB所成的角的正切值；
（3）求二面角A-B₁N-M的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）首先證明線面垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為面面垂直
（2）先找到異面直線所成角的平面角，再利用解三角形知識(shí)求解．
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)來(lái)解決二面角問(wèn)題，使用法向量是解題的關(guān)鍵

解答：
（1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)
BB₁⊥AM   AM⊥BC
AM⊥平面B₁BCC₁
∴AM⊥MN
∵M(jìn)N⊥AB₁
∴MN⊥平面AB₁M
MN?平面AMN
∴平面AB₁M⊥平面AMN
（2）解：由（1）得：MN⊥B₁M
設(shè)CN=x
則：C₁N=2-x
B1M2+MN2=B1C12+C1N2
解得：x=

1

4

異面直線B₁N與AB所成的角
即∠A₁B₁N
利用勾股定理得：A1N=

65

4

tan∠A₁B₁N=

65

4

（3）解：建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
由于AM⊥平面B₁BCC₁

AM

作為平面B1BCC1的法向量

AM

=(

1

2

，

1

2

，0)
設(shè)平面AB₁N
的法向量為

n

=(x，y，z)
進(jìn)一步求出：

AB1

=(1，0，2)  

B1N

=(-1，1，-

7

4

)
利用

n•

AB1

=0且

n

•

B1N

=0
解得：

n

=(-2，-

11

2

，1)
設(shè)二面角的平面角為θ
cosθ=

AM • n

| AM || n|

=-

2

2

由于二面角的大小為銳角
θ=45°
故答案為：（1）略
（2）tan∠A₁B₁N=

65

4

（3）θ=45°

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：線面垂直的判定和性質(zhì)，面面垂直的判定，勾股定理得應(yīng)用，異面直線所成的角，空間直角坐標(biāo)系，向量的數(shù)量積，法向量，夾角公式及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．