Question

當a+b＞0時，求證：log

1

2

(a+b)≥

1

2

log

1

2

(a2+1)+

1

2

log

1

2

(b2+1)．

Answer 1

分析：本題利用分析法進行證明．要證明原不等式成立，只要證明：2log

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2

(a+b)≥log

1

2

(a2+1)+log

1

2

(b2+1)，只要證log

1

2

(a+b)2≥log

1

2

(a2+1)(b2+1)    (a+b＞0)，再利用函數(shù)y=log

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2

x在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)，只要證（a+b）²≤（a²+1）（b²+1）展開后即證（ab-1）²≥0，上式顯然成立，從而原不等式成立．

解答：證明：要證明log

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(a+b)≥

1

2

log

1

2

(a2+1)+

1

2

log

1

2

(b2+1)成立，
只要證明：2log

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2

(a+b)≥log

1

2

(a2+1)+log

1

2

(b2+1)
只要證log

1

2

(a+b)2≥log

1

2

(a2+1)(b2+1)    (a+b＞0)
由于函數(shù)y=log

1

2

x在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)，
∴只要證（a+b）²≤（a²+1）（b²+1）
即證a²+2ab+b²≤（a²+1）（b²+1）
即證a²b²-2ab+1≥0
即證（ab-1）²≥0上式顯然成立∴原不等式成立．

點評：本題主要考查不等式的證明．證明用到了分析法，分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步步向前推，得到一個恒成立的不等式，或明顯成立的結(jié)論即可．