已知:數(shù)列{a
n}的前n項和為S
n,若
Sn=,
(Ⅰ)求證:{a
n}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)若a>0且a
2=2a+1,S
5=5(3a+1),求證:
++…+<.
考點:數(shù)列與不等式的綜合
專題:
分析:(Ⅰ)再寫一式,兩式相減,即可證明{an}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答:
證明:(Ⅰ)當(dāng)n≥2時,
Sn=①,
Sn-1=②
①-②得:
an=-∴2a
n=na
n-(n-1)a
n-1+a
1③…(2分)2a
n+1=(n+1)a
n+1-na
n+a
1④
④-③得:2a
n+1-2a
n=(n+1)a
n+1-2na
n+(n-1)a
n-1…(3分)
∴(n-1)a
n+1+(n-1)a
n-1=2(n-1)a
n…(4分)
即:a
n+1+a
n-1=2a
n∴{a
n}是等差數(shù)列;…(5分)
(Ⅱ)①當(dāng)n=1時,
=<不等式成立,…(6分)
②假設(shè)n=k(k≥1)時,不等式成立,
即
++…+<…(7分)
那么n=k+1時,
++…++<+…(8分)
<+=
=
=
…(11分)
即n=k+1時,不等式也成立,
由①②得,不等式恒成立.…(12分)
點評:本題考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)學(xué)歸納法,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確運用數(shù)學(xué)歸納法是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為矩形,SA⊥底面ABCD,M為SD的中點,且SA=AD=2AB.
(1)求證:AM⊥SC;
(2)求二面角S-AC-M的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
已知f(α)=
sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+π)tan(-α-π) |
sin(-α-π) |
(1)化簡f(α);
(2)若α是第三象限角,且cos(α-
π)=
,求f(α)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
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題型:
設(shè)橢圓C:
+
=1(a>b>0)過點M(1,
),且右焦點為F
2(1,0).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點P(x
0,y
0)是橢圓C上的一個動點,過F
2作與PF
2垂直的直線l
2,直線l
2與直線l
1:
+
=0相交于點Q,求點Q的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是梯形,且滿足AD=DC=CB=
AB=a,在直角梯形ACEF中,EF∥
AC,∠ECA=90°,已知二面角E-AC-B是直二面角.
(Ⅰ)求證:BC⊥AF;
(Ⅱ)求多面體ABCDEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知函數(shù)f(x)=asinx+cosx,a∈R;
(Ⅰ)求在點(
,1)的切線方程;
(Ⅱ)若a=f′(
),求f(
)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(1)已知不等式ax
2+bx+2>0的解集為{x|-1<x<2},求不等式2x
2+bx+a<0 的解集;
(2)已知a>0,解關(guān)于x的不等式x
2-(a+
)x+1<0.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
若圓x
2+y
2-2x+4y+1=0上恰有兩點到直線2x+y+c=0(c>0)的距離等于1,則c的取值范圍為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
函數(shù)f(x)=log
2(
-x)+asinx+3,且f(-3)=5,則f(3)=
.
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