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10.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,1),對(duì)任意x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy).
(1)驗(yàn)證函數(shù)f(x)=lg(1x1+x)是否滿足這些條件;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明;
(3)若f(a+b1+ab)=1,f(ab1ab)=2,且|a|<1,|b|<1,求f(a),f(b)的值.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)的解析式,求出函數(shù)的定義域滿足條件,進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),計(jì)算f(x)+f(y)與f(x+y1+xy)并進(jìn)行比較,可得答案
(2)利用賦值法先求出f(0)=0,再證出f(x)+f(-x)=f(0)=0,從而得出函數(shù)f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù);
(3)(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f(ab1ab)=2,f(a)+f(b)=f(a+b1+ab)=1,解得即可.

解答 解:(1)x+y1+xy>0可得-1<x<1,其定義域?yàn)椋?1,1),
又f(x)+f(y)=lg1x1+x+lg1y1+y=lg(1x1+x•g1y1+y)=lg1xy+xy1+x+y+xy=lg1x+y1+xy1+x+y1+xy=f(x+y1+xy).
函數(shù)f(x)=lg(x+y1+xy)滿足這些條件
(2)函數(shù)f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù).
證明:將x=0代入條件,得f(0)+f(y)=f(y),
∴f(0)=0
再令y=-x代入條件,得f(x)+f(-x)=f(0)=0
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù),
(3)∵|a|<1,|b|<1,
∴f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f(ab1ab)=2,
f(a)+f(b)=f(a+b1+ab)=1,
∴f(a)=32,f(b)=-12

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性,及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),其中熟練掌握抽象函數(shù)的處理方式,將抽象問(wèn)題具體化是解答的關(guān)鍵.

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