Question

3．二項式${（\sqrt{x}+\frac{1}{3x}）^n}$的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是（　�。�

• A． $\frac{5}{9}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 5
• D． 15

Answer 1

分析 先利用展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大求出n=6，再求出其通項公式，令x的指數(shù)為0，求出r，再代入通項公式即可求出常數(shù)項的值．

解答 解：${（\sqrt{x}+\frac{1}{3x}）^n}$的展開式中只有第四項的二項式系數(shù)最大，所以n=6．
 其通項公式T_r+1=C₆^r•（$\frac{1}{3}$）^r•${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，
令3-$\frac{3r}{2}$=0，求得r=2，可得展開式中的常數(shù)項為C₆²•（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{5}{3}$，
故選：B．

點評 本題主要考查二項式定理中的常用結(jié)論：如果n為奇數(shù)，那么是正中間兩項的二項式系數(shù)最大；如果n為偶數(shù)，那么是正中間一項的二項式系數(shù)最大．