Question

13．定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），已知xf'（x）+f（x）＜-f'（x），f（2）=$\frac{1}{3}$，則不等式f（e^x-2）-$\frac{1}{{{e^x}-1}}$＜0（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（　　）

• A． （0，ln4）
• B． （-∞，0）∪（ln4，+∞）
• C． （ln4，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x+1）f（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由xf'（x）+f（x）＜-f'（x），得xf'（x）+f（x）+f′（x）＜0，
即（x+1）f'（x）+f（x）＜0，
設(shè)g（x）=（x+1）f（x），
則g′（x）=f（x）+（x+1）f'（x）＜0，
即g（x）為減函數(shù)，
∵f（2）=$\frac{1}{3}$，∴g（2）=3f（2）=3×$\frac{1}{3}$=1，
則不等式f（e^x-2）-$\frac{1}{{{e^x}-1}}$＜0等價(jià)為，
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x-1＞0，則不等式等價(jià)為（e^x-1）f（e^x-2）-1＜0，即（e^x-2+1）f（e^x-2）＜1，
即g（e^x-2）＜g（2），
則e^x-2＞2，則e^x＞4，則x＞ln4，
當(dāng)x＜0時(shí)，e^x-1＜0，則不等式等價(jià)為（e^x-1）f（e^x-2）-1＞0，即（e^x-2+1）f（e^x-2）＞1，
即g（e^x-2）＞g（2），
則e^x-2＜2，則e^x＞4，則x＜ln4，
∵x＜0，
∴此時(shí)不等式的解為x＜0，
綜上不等式的解為x＜0或x＞ln4，
即不等式的解集為（-∞，0）∪（ln4，+∞），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．，注意要對(duì)分母進(jìn)行討論．