Question

已知2cosα+sinα=

5

．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若cos（α+β）=

- 10

10

，α，β均為銳角，求
（i）cosβ的值；   （ii）2α+β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由已知等式變形表示出sinα，代入sin²α+cos²α=1，求出cosα的值，即可求出sinα的值．
（Ⅱ）利用兩角和差的余弦公式進(jìn)行求解，注意要討論角的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由2cosα+sinα=

5

，得到sinα=

5

-2cosα  ①，
把①代入sin²α+cos²α=1，得：（

5

-2cosα）²+cos²α=1，
整理得：5cos²α-4

5

cosα+4=0，
即（

5

cosα-2）²=0，
解得：cosα=

2 5

5

，
則sinα=

5

-2×

2 5

5

=

5

5

．
（Ⅱ）∵cos（α+β）=

- 10

10

，α，β均為銳角，
∴sin（α+β）=

1-(- 10 10 )2

=

1- 10 100

=

3 10

10

，
則cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=

- 10

10

×

2 5

5

+

3 10

10

×

5

5

=

2

10

．
cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=

- 10

10

×

2 5

5

-

3 10

10

×

5

5

=-

2

2

．
∵α，β均為銳角，cosα=

2 5

5

＞

3

2

，∴0＜α＜

π

6

，
∵cos（α+β）=

- 10

10

∈（-

1

2

，0），
∴

π

2

＜α+β＜π，
∴

π

2

＜2α+β＜

7

6

π，
則2α+β=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，利用兩角和差的余弦公式以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．