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如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e=，一條準線的方程是x=，
(Ⅰ)求橢圓的標準方程；
(Ⅱ)設動點P滿足：，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為。問：是否存在定點F，使得|PF|與點P到直線l：x=的距離之比為定值？若存在，求F的坐標；若不存在，說明理由。

解：(Ⅰ)∵，，解得a=2，c=，
∴b2=a2-c2=2，
∴橢圓的標準方程為；
(Ⅱ)設P(x，y)，，
則由，得，
∴x=，y=，
∵M，N在橢圓上，
∴，
∴
，
設分別表示直線OM，ON的斜率，
由題設條件知，，
∴，
∴=20，
∴點P在橢圓上，
該橢圓的右焦點為F(，0)，離心率e=，右準線為l：x=2，
∴根據橢圓的第二定義，存在定點F(，0)，使得|PF|與點P到直線l的距離之比為定值。
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    精英家教網如圖，橢圓的中心為原點O，離心率e=
    		2
    2
    ，一條準線的方程為x=2
    		2
    ．
    （Ⅰ）求該橢圓的標準方程．
    （Ⅱ）設動點P滿足
    OP
    =
    OM
    +2
    ON
    ，其中M，N是橢圓上的點．直線OM與ON的斜率之積為-
    1
    2
    ．
    問：是否存在兩個定點F1，F2，使得|PF1|+|PF2|為定值．若存在，求F1，F2的坐標；若不存在，說明理由．

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    （2）設圓C經過點F，且被直線l截得的弦長為4，求使OC長最小時圓C的方程．

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    （2013•重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e=
    		2
    2
    ，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．
    （Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
    （Ⅱ）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對應的圓Q的標準方程．

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    （2013•重慶）如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e=
    		2
    2
    ，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．
    （Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
    （Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．若PQ⊥P'Q，求圓Q的標準方程．

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    科目：高中數學 來源：2014屆河南安陽一中高二第一次階段測試數學試卷（奧數班）（解析版） 題型：解答題

    如圖,設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左右焦點分別為,線段的中點分別為,且△ 是面積為4的直角三角形.

    (Ⅰ)求該橢圓的離心率和標準方程；

    (Ⅱ)過做直線交橢圓于P,Q兩點,使,求直線的方程.

     

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