已知A、B分別是直線y=x和y=-x上的兩個動點(diǎn),線段AB的長為2
3
,P是AB的中點(diǎn).
(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)Q(1,0)作直線l(與x軸不垂直)與軌跡C交于M、N兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)R,若
RM
MQ
RN
NQ
,證明:λ+μ為定值.
考點(diǎn):平面向量的基本定理及其意義,軌跡方程
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)已知條件可設(shè)這幾個點(diǎn)的坐標(biāo):P(x,y),A(x1,x1),B(x2,-x2),根據(jù)P是AB的中點(diǎn),即可用x,y分別表示x1,x2,根據(jù)AB的長為2
3
,即可建立關(guān)于x,y的方程;
(2)設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),R(0,y5),設(shè)出直線l的方程,聯(lián)立軌跡C的方程消去y,便得到關(guān)于x的方程,由韋達(dá)定理便可求出:x3+x4,x3x4,而由
RM
MQ
,可用x3表示λ,由
RN
NQ
,可用x4表示μ,這時候就可以求λ+μ.
解答: 解:(1)根據(jù)已知條件設(shè):P(x,y),A(x1,x1),B(x2,-x2)則:
x=
x1+x2
2
y=
x1-x2
2
;
∴x1=x+y,x2=x-y;
∴A(x+y,x+y),B(x-y,y-x),∵AB=2
3

(-2y)2+(-2x)2
=2
3
;
∴x2+y2=3
(2)設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),R(0,y5),直線l的斜率為k,則:y=k(x-1);
y=k(x-1)
x2+y2=3
得:(1+k2)x2-2k2x+k2-3=0;
x3+x4=
2k2
1+k2
           ①
x3x4=
k2-3
1+k2
               ②
RM
MQ

∴(x3,y3-y5)=λ(1-x3,-y3);
∴x3=λ(1-x3
∵l不與x軸垂直,∴x3≠1;
∴λ=
x3
1-x3

同理μ=
x4
1-x4

∴λ+μ=
x3
1-x3
+
x4
1-x4
=
x3+x4-2x3x4
1-(x3+x4)+x3x4

將①②帶入上式得:λ+μ=-3.
點(diǎn)評:考查軌跡方程,及軌跡方程的求法,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,兩點(diǎn)間距離公式,韋達(dá)定理,向量的坐標(biāo).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+ln(x+1)
x
(x>0).
(Ⅰ)試判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)若f(x)>
k
x+1
對于?x∈(0,+∞)恒成立,求正整數(shù)k的最大值;
(Ⅲ)求證:(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)…[1+n(n+1)]>e2n-3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知|
a
|=2,|
b
|=
3
,(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=19,
(1)求
a
b
的值;
(2)若
a
⊥(
a
b
),求λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BCD=60°,PD=AD=2,E是PC中點(diǎn)
(1)求證:面PAC⊥面PBD;
(2)求三棱錐E-BCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某學(xué)校對高一800名學(xué)生周末在家上網(wǎng)時間進(jìn)行調(diào)查,抽取其中50個樣本進(jìn)行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)上網(wǎng)的時間t(小時)全部介于0至5之間,現(xiàn)將上網(wǎng)時間按如下方式分成五組;第一組[0,1),第二組[1,2),第三組[2,3),第四組[3,4),第五組[4,5],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)求該樣本中上網(wǎng)時間t在[1,2)范圍內(nèi)的人數(shù);
(2)請估計本年級800名學(xué)生中上網(wǎng)時間在[1,2)范圍內(nèi)的人數(shù);
(3)若該樣本中第三組只有兩名女生,第五組只有一名女生,現(xiàn)從第三組和第五組中各抽一名同學(xué)進(jìn)行座談,求抽到的兩名同學(xué)恰好是一名男生和一名女生的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=x2-x-blnx+m(b,m∈R).
(1)當(dāng)b=3時,判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;
(2)記h(x)=f(x)+blnx,求函數(shù)y=h(x)在(0,m]上的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=4x3+ax2+bx+5在x=-1與x=
3
2
處有極值.
(1)寫出函數(shù)的解析式;
(2)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; 
(3)求f(x)在[-1,2]上的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)直線x-y+a=0與圓(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B兩點(diǎn),且弦AB的長為2
2
,則a=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若直線x-y=2被圓(x-a)2+y2=4所截得的弦長為2
2
,則實(shí)數(shù)a的值為
 

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同步練習(xí)冊答案