Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=axlnx﹣x+l （a∈R），且f（x）≥0．

（I）求a；

（ II）求證：當(dāng)，n∈N*時(shí)，

Answer 1

【答案】（1）1（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，問題轉(zhuǎn)化為，令，求出的最小值，求出的值即可；（Ⅱ）由恒成立．令，根據(jù)取值累加即可.

試題解析：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?/span>0，+∞）．

若a＜0，f（2）=2aln2﹣1＜0，與已知矛盾．…

若a=0，則f（x）=﹣x+1，顯然不滿足在（0，+∞）上f（x）≥0恒成立．…

若a＞0，對(duì)f（x）求導(dǎo)可得f'（x）=alnx+a﹣1．

由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得0＜，

∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，

∴f（x）min==1﹣a． …

∴要使f（x）≥0恒成立，則須使1﹣a≥0成立，即≤恒成立．

兩邊取對(duì)數(shù)得，≤ln，整理得lna+﹣1≤0，即須此式成立．

令g（a）=lna+﹣1，則，

顯然當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g'（a）＜0，當(dāng)a＞1時(shí)，g'（a）＞0，

于是函數(shù)g（a）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，

∴g（a）min=g（1）=0，

即當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，f（x）min=f（1）=0，f（x）≥0恒成立，

∴a=1滿足條件．

綜上，a=1．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x＞1時(shí)，xlnx﹣x+1＞0，即lnx＞恒成立．

令（n∈N*），即＞，

即，…

同理，，

，…，

，

，…

將上式左右相加得：

==ln4．=2ln2…