Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²，在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：轉(zhuǎn)化為在區(qū)間（1，3）內(nèi)，恒有f′（x）=

a

x+1

-2x＞1，即a＞2x²+3x+1，x∈（1，3），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²，
∴f′（x）=

a

x+1

-2x，
∵在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立
∴在區(qū)間（1，3）內(nèi)，恒有f′（x）=

a

x+1

-2x＞1，
即令g（x）=2x²+3x+1，x∈（1，3），
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得g（x）_max=g（3）=28，
∴a≥28，
故答案為：a≥28

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，結(jié)合不等式恒成立問(wèn)題求解．