Question

若函數(shù)f（x）=log_a（a-x）（x-a-2）（a＞0，a≠1）在區(qū)間（2，

5

2

）內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意得t=（a-x）（x-a-2）＞0，求得函數(shù)的定義域?yàn)椋╝，a+2）．再求出二次函數(shù)t在定義域上的單調(diào)區(qū)間，分類討論求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合f（x）在區(qū)間（2，

5

2

）內(nèi)單調(diào)遞減，求得a的范圍．

解答： 解：由題意可得，a＞0，a≠1，且t=（a-x）（x-a-2）＞0，求得a＜x＜a+2，故函數(shù)的定義域?yàn)椋╝，a+2），f（x）=log_at．
由于二次函數(shù)t在定義域上的增區(qū)間為（a，a+1]，減區(qū)間為（a+1，a+2），
當(dāng)a＞1時(shí)，則由題意可得f（x）的增區(qū)間為（a，a+1]，∴a≤2，且

5

2

≤a+1，求得

3

2

≤a≤2．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則由題意可得f（x）的增區(qū)間為（a+1，a+2），∴a+1≤2，且

5

2

≤a+2，求得

1

2

≤a＜1．
綜上可得，a的范圍為（

3

2

，2]∪[

1

2

，1），
故答案為：（

3

2

，2]∪[

1

2

，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．