Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（x-1）=-f（x+1），且x∈（-1，0）時，f（x）=2^x+

6

5

，則f（log₂20）=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件可知函數(shù)的奇偶性和對稱軸，然后根據(jù)奇偶性和對稱軸的性質(zhì)將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
∵f（x-1）=-f（x+1），
∴f（x+1）=-f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
即函數(shù)是周期函數(shù)周期是4．
∵log₂16＜log₂20＜log₂32，
∴4＜log₂20＜5，
即0＜log₂20-4＜1，
∴0＜log₂

20

16

＜1．
即-1＜-log₂

20

16

＜0．
∵x∈（-1，0）時，f（x）=2^x+

6

5

，
∴f（log₂20）=f（log₂20-4）=f（log₂

20

16

）=-f（-log₂

20

16

）=-f（log₂

20

16

）=-（

6

5

+2log2

4

5

）=-（

6

5

+

4

5

）=-2，
故答案為：-2

點評：本題主要考查函數(shù)值的計算，利用條件確定函數(shù)的奇偶性和周期性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)．