Question

設(shè)a∈{2，4}，b∈{1，3}，函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+bx+1．
（1）求f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上是減函數(shù)的概率；
（2）從f（x）中隨機(jī)抽取兩個(gè)，求它們?cè)冢?，f（1））處的切線互相平行的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,幾何概型

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）寫出所有基本事件（a，b）的取法，求出滿足f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上是減函數(shù)的（a，b）的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式求得概率；
（2）求出所有的函數(shù)種數(shù)，由兩函數(shù)在（1，f（1））處的切線互相平行得到a，b滿足的條件，然后借助于古典概型概率公式求得概率．

解答： 解：（1）f（x）共有四種等可能基本事件即（a，b）取（2，1）（2，3）（4，1）（4，3），
記事件A為“f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上是減函數(shù)”，
由條件知f（x）開(kāi)口一定向上，對(duì)稱軸為x=-

b

a

≥-1，
事件A共有三種（2，1）（4，1）（4，3）等可能基本事件，
則P（A）=

3

4

．
∴f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上是減函數(shù)的概率為

3

4

；
（2）由（1）可知，函數(shù)f（x）共有4種可能，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)，有6種抽法．
∵函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=a+b，
∴這兩個(gè)函數(shù)中的a與b之和應(yīng)該相等，而只有（2，3），（4，1）這1組滿足，
∴概率為

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是中檔題．