Question

已知集合M={x|x²+x≤4-2x，x∈R}，求函數(shù)f（x）=a²-1+ax+x²，x∈M的最小值g（a）并求出g（a）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先求出集合M，再化簡函數(shù)f（x），從而討論函數(shù)f（x）的對稱軸，以確定函數(shù)f（x）的最小值，從而求出g（a）的表達(dá)式，同時(shí)求出g（a）的最小值．

解答： 解：由題意，解x²+x≤4-2x得，
-4≤x≤1，
故M=[-4，1]；
又∵函數(shù)f（x）=a²-1+ax+x²的對稱軸為-

a

2

，
①當(dāng)-

a

2

≤-4，即a≥8時(shí)，
函數(shù)f（x）=a²-1+ax+x²在[-4，1]上單調(diào)遞增，
則g（a）=f_min（x）=a²-1-4a+16=a²-4a+15≥47；
②當(dāng)-4＜-

a

2

＜1，即-2＜a＜8時(shí)，
函數(shù)f（x）=a²-1+ax+x²在[-4，1]上先減后增，
則g（a）=f_min（x）=f（-

a

2

）=

3

4

a²-1≥-1；
③當(dāng)-

a

2

≥1，即a≤-2時(shí)，
函數(shù)f（x）=a²-1+ax+x²在[-4，1]上單調(diào)遞減，
則g（a）=f_min（x）=a²+a≥2；
則g（a）=

a2-4a+15，a≥8 3 4 a2-1，-2＜a＜8 a2+a，a≤-2

，
且g（a）的最小值為-1．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．