O為坐標(biāo)原點(diǎn),平面內(nèi)的向量
OA
=(1,7),
OB
=(5,1),
OM
=(6,3),點(diǎn)P(x,y)是線段OM上的一個動點(diǎn).
(1)求x-2y的值;
(2)求
PA
PB
的取值范圍;
(3)當(dāng)
PA
PB
取最小值時,求∠APB的余弦值.
考點(diǎn):平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)利用向量共線定理即可得出;
(2)利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出;
(3)由(1)(2)即可得出.
解答: 解:(1)∵點(diǎn)P在線段OM上,∴
OP
OM
共線,
OM
=(6,3)
OP
=(x,y)
,
則3x=6y,∴x-2y=0.
(2)由(1)知
OP
=(2y,y)

PA
=(1-2y,7-y)
,
PB
=(5-2y,1-y)
,
PA
PB
=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8

∵點(diǎn)P在線段OM上,∴y∈[0,3],
∴當(dāng)y=2時
PA
PB
有最小值-8,當(dāng)y=0時
PA
PB
有最大值12,
PA
PB
的取值范圍為[-8,12]
(3)由(1)可知當(dāng)y=2,x=4時
PA
PB
有最小值-8,此時P(4,2),
PA
=(-3,5)
,
PB
=(1,-1)

PA
PB
=-3-5=-8,|
PA
|
=
34
,|
PB
|
=
2

PA
PB
=|
PA
|
|
PB
|
cos∠APB,
cos∠APB=
-8
2
×
34
=-
4
17
17
點(diǎn)評:本題考查了向量共線定理、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
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已知α是第二象限角,f(α)=
sin(π-α)tan(-α-π)
sin(π+α)cos(2π-α)tan(-α)

(Ⅰ)化簡f(α);(Ⅱ)若cos(α-
2
)=-
1
3
,求f(α)的值.

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(Ⅱ)求證:OM∥平面DAF;
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π
3
)+2sin2(x+
π
2
).
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π
3
π
4
]時,求f(x)的值域.

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x
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