Question

已知f（x）是有y=log₂x的反函數(shù)，又g（x）=-2x+b，且f（x）與g（x）的交點(diǎn)為M（m，n）．
（1）判定g（x）的單調(diào)性；
（2）若m=1，定義min（a，b）=

a，(a≤b) b，(a＞b)

，記F（x）=min{f（x），g（x）}，求其解析式及最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由-2＜0，可得g（x）=-2x+b為R上的單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）由f（x）是有y=log₂x的反函數(shù)，可得f（x）=2^x（x∈R）．由f（x）與g（x）的交點(diǎn)為M（m，n）．可得

n=-2+b n=2

，解得n=2，b=4．可得f（x）=2^x，g（x）=-2x+4．F（x）=min{f（x），g（x）}=

f(x)，x≤2 g(x)，x＞2

．

解答： 解：（1）∵-2＜0，∴g（x）=-2x+b為R上的單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）∵f（x）是y=log₂x的反函數(shù)，∴f（x）=2^x（x∈R）．
聯(lián)立

y=-2x+b y=2x

，即

n=-2+b n=2

，解得n=2，b=4．
∴f（x）=2^x，g（x）=-2x+4．
F（x）=min{f（x），g（x）}=

f(x)，x≤2 g(x)，x＞2

=

2x，x≤2 -2x+4，x＞2

，
函數(shù)F（x）的最大值為F（1）=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)的求法、一次函數(shù)的單調(diào)性、“取小函數(shù)”，考查了推理能力與數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．