Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且f（1）=0．
（1）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大、最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先由f（1）=0可得到b=-c-1，帶入f（x）便得：f（x）=x²-（c+1）x+c．由f（x）是偶函數(shù)，便可由f（-x）=f（x）求出c，從而求出f（x）=x²-1；
（2）對于二次函數(shù)f（x）=x²-1，可以判斷它在[-1，3]上的單調(diào)性，而根據(jù)單調(diào)性即可求出f（x）在[-1，3]上的最大、最小值．

解答： 解：由f（1）=0得，1+b+c=0；
∴b=-c-1；
∴f（x）=x²-（c+1）x+c；
∴（1）若f（x）是偶函數(shù)，則：
f（-x）=x²+（c+1）x+c=x²-（c+1）x+c；
∴c+1=0，c=-1；
∴f（x）=x²-1；
（2）二次函數(shù)f（x）=x²-1在[-1，0）上單調(diào)遞減，在[0，3]上單調(diào)遞增；
又f（-1）=0，f（3）=8，f（0）=-1；
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是8，最小值是-1．

點評：考查二次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法．