Question

23．已知f（x）=(

1

9

)x-2a(

1

3

)x+3，x∈[-1，1]
（1）若f（x）的最小值記為h（a），求h（a）的解析式．
（2）是否存在實數(shù)m，n同時滿足以下條件：①log₃m＞log₃n＞1；②當(dāng)h（a）的定義域為[n，m]時，值域為[n²，m²]；若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先利用換元法把復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，進(jìn)一步利用分段函數(shù)求出解析式．
（2）先假設(shè)實數(shù)m、n存在，再根據(jù)已知條件推出矛盾從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)t=(

1

3

)x，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[

1

3

，3]，
f（x）=t²-2at+3 t∈[

1

3

，3]，
對稱軸t=a．
①當(dāng)a＜

1

3

時，h(a)=f(

1

3

)=-

2a

3

+

28

9

，
②當(dāng)

1

3

≤a≤3時，h(a)=f(a)=-a²+3，
③當(dāng)a＞3時，h（a）=f（a）=-6a+12．
所以：h(a)=

- 2a 3 + 28 9 (a＜ 1 3 ) - 2a 3 + 28 9 ( 1 3 ≤a≤3) -a2+3(a＞3)

，a＜
（2）假設(shè)存在m，n使?jié)M足①②的條件．
因為h（a）=12-6a在（3，+∞）上為減函數(shù)，而m＞n＞3，
∴h（a）在[n，m]上的值域為[h（m），h（n）]，
∵h(yuǎn)（a）在[n，m]上的值域為[n²，m²]，
∴h（m）=n²  h（n）=m²，即：12-6m=n²，12-6n=m²，
兩式相減得：6（m-n）=（m-n）（m+n），
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3時有m+n＞6，矛盾．
故滿足條件的實數(shù)m，n不存在．

點評：本題考查的知識要點：復(fù)合函數(shù)的解析式的確定，換元法的應(yīng)用，分段函數(shù)的應(yīng)用，存在性問題的確定，屬于中等題型．