Question

設(shè)a≥0，函數(shù)f（x）=x-1-ln²x+2alnx，令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出f′（x），進(jìn)一步得到F（x），然后對(duì)函數(shù)F′（x）求導(dǎo)數(shù)，通過研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性，并求出極值．

解答： 解：由已知得f′(x)=1-

2lnx

x

+

2a

x

，
所以F（x）=xf′（x）=x-2lnx+2a．（x＞0）
所以F′（x）=1-

2

x

．
令F′（x）＞0，得x＞2；F′（x）＜0，得0＜x＜2．
故函數(shù)F（x）在（0，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增．
所以x=2是函數(shù)F（x）的極小值點(diǎn)，
所以F（x）_極小=F（2）=2+2a-2ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等問題．屬于基礎(chǔ)題，難度不大．要注意計(jì)算準(zhǔn)確．