Question

已知一元二次不等式ax²-2ax+2a-3＜0，求解下列問題：
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解此不等式；
（2）若原不等式的解集為∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若原不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）a=2時(shí)，求對(duì)應(yīng)一元二次不等式的解集即可；
（2）當(dāng)原不等式的解集為∅時(shí)，得

a＞0 △=(-2a)2-4a(2a-3)≤0

，求出不等式組的解集即可；
（3）當(dāng)原不等式的解集為R時(shí)，討論a=0，或

a＜0 △=(-2a)2-4a(2a-3)＜0

滿足題意，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，一元二次不等式為2x²-4x+1＜0，
∵△=（-4）²-4×2×1=8＞0，
且方程2x²-4x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁=1-

2

2

，x₂=1+

2

2

，
∴此不等式的解集為{x|1-

2

2

＜x＜1+

2

2

}；
（2）當(dāng)原不等式的解集為∅時(shí)，
應(yīng)滿足

a＞0 △=(-2a)2-4a(2a-3)≤0

，
解得

a＞0 a≤0，或a≥3

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）；
（3）當(dāng)原不等式的解集為R時(shí)，
有a=0，不等式為-3＜0，滿足題意；
或

a＜0 △=(-2a)2-4a(2a-3)＜0

，
解得

a＜0 a＜0，或a＞3

；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了不等式的恒成立問題，是綜合性題目．