Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，側面BCC₁B₁⊥底面ABC．
（1）若M，N分別是AB、A₁C的中點，求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的面各棱長均為2，側棱BB1與底面ABC所成的角為60°，問在線段A₁C₁上是否存在一點P，使得平面B₁CP⊥平面ACC₁A₁？若存在，求C₁P與PA的比值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：

分析：（1）連接AC₁，利用三角形的中位線證明：MN∥BC₁，然后利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（2）假設在線段A₁C₁上存在點P，設

C1P

=λ

C1A1

，通過

m • B1C =0 m • CP =0

，求出平面B₁CP的法向量

m

，利用

n • AC =0 n • C1C =0

，求出平面ACC₁A₁的法向量

n

，通過

m

•

n

=0，求出λ=

2

3

．即可得出結論．

解答： 解：（1）連接AC₁，BC₁，∵M、N分別為AB、A₁C的中點，
∴MN

∥

.

BC₁，MN?平面BCC₁B₁；BC₁?平面BCC₁B₁；
∴MN∥平面BCC₁B₁；
（2）以O為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，
則A（-

3

，0，0），B（0，-1，0），C（0，1，0），A₁（-

3

，1，

3

），B₁（0，0，

3

），C₁（0，2，

3

），
假設在線段A₁C₁上存在點P，設

C1P

=λ

C1A1

，
則

C1P

=λ（-

3

，-1，0），

CP

=

CC1

+

C1P

=（-

3

λ，1-λ，

3

），

B1C

=（0，1，-

3

），

AC

=（

3

，1，0），

C1C

=（0，-1，-

3

），
設平面B₁CP的法向量

m

=（x，y，z），
則

m • B1C =0 m • CP =0

，即

y- 3 z=0 - 3 xλ+(1-λ)y+ 3 z=0

．
令z=1，則y=

3

，x=

2-λ

λ

，∴

m

=（

2-λ

λ

，

3

，1）．         
設平面ACC₁A₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AC =0 n • C1C =0

，即

3 x+y=0 y+ 3 z=0

，令z=1，則y=-

3

，x=1，∴

n

=（1，-

3

，1）．          
要使平面B₁CP⊥平面ACC₁A₁，
則

m

•

n

=0，即（

2-λ

λ

，

3

，1）•（1，-

3

，1）=0，∴

2-λ

λ

-3+1=0，∴λ=

2

3

，
∴C₁P=

4

3

，PA₁=

2

3

，
∴

C1P

PA1

=2．

點評：本題考查直線與平面垂直，直線與平面所成的角，平面與平面垂直，考查空間想象能力，計算能力．