Question

實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（b+a²-3a）²+（c+d+2）²=0，則（a-c）²+（b+d）²的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由平方數(shù)非負(fù)，得到：b+a²-3a=0，且c+d+2=0，由于（a-c）²+（b+d）²的幾何意義：兩點(diǎn)A（a，b）、B（c，-d）的距離的平方，則為求拋物線y=3x-x²上點(diǎn)A和直線x-y+2=0上點(diǎn)B的距離的最小值，先判斷直線和拋物線相離，可設(shè)直線y=x+t與拋物線相切，由聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用判別式為0，求出t，再由兩直線的距離公式，即可得到最小值，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（b+a²-3a）²+（c+d+2）²=0，
則有b+a²-3a=0，且c+d+2=0，
由于（a-c）²+（b+d）²的幾何意義：兩點(diǎn)A（a，b）、B（c，-d）的距離的平方，
則為求拋物線y=3x-x²上點(diǎn)A和直線x-y+2=0上點(diǎn)B的距離的最小值，
由于聯(lián)立方程x-y+2=0和y=3x-x²上，消去y，得到x²-2x+2=0，方程無實(shí)數(shù)解，
故直線和拋物線相離，可設(shè)直線y=x+t與拋物線相切，
則聯(lián)立拋物線方程，消去y，得，x²-2x+t=0，由判別式為0，即有4-4t=0，
即t=1，則切線為：y=x+1，
由于兩直線y=x+2與直線y=x+1的距離為d=

|2-1|

2

=

2

2

，
即有拋物線y=3x-x²上點(diǎn)A和直線x-y+2=0上點(diǎn)B的距離的最小值為

2

2

，
則有（a-c）²+（b+d）²的最小值為

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查兩點(diǎn)距離的最值問題，注意運(yùn)用切線知識(shí)，轉(zhuǎn)化為直線間的距離，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．