Question

已知奇函數(shù)f（x），偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=a^x（a＞0，且a≠1）．
（1）證明：f（2x）=2f（x）•g（x）．
（2）若f（x）•f（y）=8，且g（x）•g（y）=4，求g（x+y）•g（x-y）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x再根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行化簡，得到關(guān)于f（x）與g（x）的方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式，從而證得f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）由f（x）•f（y）=8，g（x）•g（y）=4，解指數(shù)方程，然后可以求值即可．

解答： 證明：（1）∵f（x）+g（x）=a^x，
∴f（-x）+g（-x）=a^-x
∵f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，
∴-f（x）+g（x）=a^-x，
∴f（x）=

1

2

（a^x-a^-x），g（x）=

1

2

（a^x+a^-x）．
∴f（x）g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）•

1

2

（a^x+a^-x）=

1

4

（a^2x-a^-2x）=

1

2

f（2x）
即f（2x）=2f（x）g（x）．
（2）∵f（x）•f（y）=8，
∴f（x）•f（y）=

1

2

（a^x-a^-x）•

1

2

（a^y-a^-y）=8，
即a^x+y+a^-x-y-a^x-y-a^-x+y=32  ①
∵g（x）•g（y）=4，
∴g（x）•g（y）=

1

2

（a^x+a^-x）•

1

2

（a^y+a^-y）=4． 
即a^x+y+a^-x-y+a^x-y+a^-x+y=16，②
①+②，得 2（a^x+y+a^-x-y）=48，
∴a^x+y+a^-x-y=24，
即g（x+y）=24，
②-①，得2（a^x-y+a^-x+y）=-16．
∴a^x-y+a^-x+y=-8．即g（x-y）=-8．
∴g（x+y）•g（x-y）=24×（-8）=-192．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，根據(jù)函數(shù)的奇偶性與題設(shè)中所給的解析式求出兩個函數(shù)的解析式，此是函數(shù)奇偶性運(yùn)用的一個技巧．屬于中檔題