【題目】已知橢圓的離心率，點在橢圓上，、分別為橢圓的左右頂點，過點作軸交的延長線于點，為橢圓的右焦點.

（Ⅰ）求橢圓的方程及直線被橢圓截得的弦長；

（Ⅱ）求證：以為直徑的圓與直線相切.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要求橢圓標準方程，要有兩個獨立的條件，本題中離心率是一個，又一個頂點說明，這樣易求得，得橢圓方程，而求橢圓中的弦長，首先寫出直線方程，代入橢圓方程得的一元二次方程，可解得，由弦長公式可得弦長；（Ⅱ）要證此結論，只要證的中點到直線的距離等線段長的一半即可，為此求出方程，求得點坐標，得中點坐標，及圓半徑，求圓心到直線的距離．

試題解析：（Ⅰ）∵橢圓過點，

∴，又，即，.

故，

∴橢圓方程為.

則，，直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立有.

消去得到，解得.

由弦長公式得；

（Ⅱ）證明：過，的直線的直線方程為：

與的直線方程聯(lián)立有，

所以以為直徑的圓的圓心為，半徑，

圓心到直線的距離，

所以以為直徑的圓與直線相切.

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