Question

20．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是A₁D₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面 BCC₁B₁上運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)有下列命題：
①若點(diǎn)P總保持PA⊥BD₁，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是直線；
②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是圓；
③若P滿足∠MAP=∠MAC₁，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是橢圓；
④若P到直線BC與直線C₁D₁的距離比為2：1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是雙曲線；
⑤若P到直線AD與直線CC₁的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是拋物線．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由BD₁⊥面AB₁C，可得P在面AB₁C和面BCC₁B₁的交線上判斷①正確；由平面截球面軌跡是圓判斷②正確；利用平面截圓錐側(cè)面可得P點(diǎn)軌跡所在曲線是雙曲線的一支，說明③錯(cuò)誤；由橢圓定義說明④不正確；建立空間坐標(biāo)系，由|PF|=|PG|列式求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡說明⑤錯(cuò)誤．

解答 解：對于①，∵BD₁⊥面AB₁C，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在曲線是直線B₁C，①正確；
對于②，滿足到點(diǎn)A的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的點(diǎn)集是球，∴點(diǎn)P應(yīng)為平面截球體所得截痕，即軌跡所在曲線為圓，②正確；
對于③，滿足條件∠MAP=∠MAC₁ 的點(diǎn)P應(yīng)為以AM為軸，以AC₁ 為母線的圓錐，平面BB₁C₁C是一個(gè)與軸AM平行的平面，
又點(diǎn)P在BB₁C₁C所在的平面上，故P點(diǎn)軌跡所在曲線是雙曲線一支，
③錯(cuò)誤；
對于④，P到直線C₁D₁ 的距離，
即到點(diǎn)C₁的距離與到直線BC的距離比為1：2，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在曲線是以C₁ 為焦點(diǎn)，以直線BC為準(zhǔn)線的橢圓，④不正確；
對于⑤，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC₁，連接PF，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y，0），由|PF|=|PG|，得$\sqrt{1+{y}^{2}}$=|x|，即x²-y²=1，
∴P點(diǎn)軌跡所在曲線是雙曲線，⑤錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了圓錐曲線的定義和方程，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．