Question

對于E＝{a₁，a₂，…，a₁₀₀}的子集X＝{，，…， }，定義X的“特征數(shù)列”為x₁，x₂，…，x₁₀₀，其中＝＝…＝＝1，其余項均為0.例如：子集{a₂，a₃}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0，…，0.

(1)子集{a₁，a₃，a₅}的“特征數(shù)列”的前3項和為________；

(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p₁，p₂，…，p₁₀₀滿足p₁＝1，p_i＋p_i＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征數(shù)列”q₁，q₂，…，q₁₀₀滿足q₁＝1，q_j＋q_j＋1＋q_j＋2＝1,1≤j≤98，則P∩Q的元素個數(shù)為________．

Answer 1

 (1)2　(2)17

解析　(1)由題意，可得子集{a₁，a₃，a₅}的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0，…，0，所以前3項和為1＋0＋1＝2.

(2)由題意，可知P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0，…，0，

則P＝{a₁，a₃，a₅，…，a₉₉}，有50個元素．

即集合P中的元素的下標依次構成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

即這些元素依次取自集合E中的項a_2n－1(1≤n≤50，n∈N^*)．

Q的“特征數(shù)列”為1,0,0,1,0,0,1，…，1，

則Q＝{a₁，a₄，a₇，a₁₀，…，a₁₀₀}，有34個元素．

即集合Q中的元素的下標依次構成以1為首項，

3為公差的等差數(shù)列，

即這些元素依次取自集合E中的項a_3n－2(1≤n≤34，n∈N^*)．

而P∩Q中的元素是由這兩個集合中的公共元素構成的集合，

所以這些元素的下標依次構成首項為1，

公差為2×3＝6的等差數(shù)列，

即這些元素依次取自集合E中的項a_6n－5，

由1≤6n－5≤100，解得1≤n≤，

又n∈N^*，

所以1≤n≤17，即P∩Q的元素個數(shù)為17.