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設數列{an}，an≠0，a1=
5
6
，若以an-1，an為系數的二次方程：an-1x2+anx-1=0（n≥2，n∈N*）都有兩個不同的根α，β滿足3α-αβ+3β+1=0
（1）求證：{an-
1
2
}為等比數列；
（2）求{an}的通項公式并求前n項和Sn．
分析：（1）依題意，可得3an-1=an-1（n≥2），進一步整理可得3（an-
1
2
）=an-1-
1
2
（n≥2），從而可證{an-
1
2
}是公比為
1
3
，首項為
1
3
的等比數列；
（2）由（1）知，an=
1
2
+(
1
3
)n，利用分組求和的方法即可求得答案．
解答：解：（1）∵3（α+β）-αβ+1=0，
∴依題意，得3
an
an-1
-
1
an-1
=1（n≥2），
∴3an-1=an-1（n≥2），
∴3（an-
1
2
）=an-1-
1
2
（n≥2），
∴{an-
1
2
}是公比為
1
3
，首項為
5
6
-
1
2
=
1
3
的等比數列；
（2）由（1）知，an-
1
2
=
1
3
•(
1
3
)n-1=(
1
3
)n，
∴an=
1
2
+(
1
3
)n，
∴Sn=a1+a2+…+an
=（
1
2
+
1
3
）+（
1
2
+(
1
3
)2）+…+（
1
2
+(
1
3
)n）
=
n
2
+
1
3
[1-(
1
3
)n]
1-
1
3

=
n+1
2
-
1
2×3n
．
點評：本題考查等比關系的確定與數列的求和，著重考查分組求和的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于數列{xn}，如果存在一個正整數m，使得對任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把這樣一類數列{xn}稱作周期為m的周期數列，m的最小值稱作數列{xn}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當xn=2時，{xn}是周期為1的周期數列，當yn=sin(
π
2
n)時，{yn}的周期為4的周期數列．
（1）設數列{an}滿足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同時為0），且數列{an}是周期為3的周期數列，求常數λ的值；
（2）設數列{an}的前n項和為Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，試判斷數列{an}是否為周期數列，并說明理由；
②若anan+1＜0，試判斷數列{an}是否為周期數列，并說明理由．
（3）設數列{an}滿足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，數列{bn}的前n項和Sn，試問是否存在p、q，使對任意的n∈N*都有p≤
Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范圍；不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3，…，其中A．B為常數．
（1）求A與B的值；
（2）證明：數列{an}為等差數列；
（3）證明：不等式
5amn
-
aman
＞1對任何正整數m，n都成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的前n項和為Sn，并且滿足an2，Sn，n成等差數列，an＞0（n∈N*）．
（1）寫出an與an-1（n≥2）的關系并求a1，a2，a3；
（2）猜想{an}的通項公式，并用數學歸納法加以證明；
（3）設x＞0，y＞0，且x+y=2，求（anx+2）2+（any+2）2的最小值（用n表示）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的前n項和為Sn，若對于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n,

(1)求數列{an}的首項與遞推關系式an+1=f(an);

(2)先閱讀下面定理，若數列{an}有遞推關系an+1=Aan+B,其中A、B為常數，且A≠1,B≠0,則數列{an-}是以A為公比的等比數列，請你在第（1）題的基礎上應用本定理，求數列{an}的通項公式;

(3)求數列{an}的前n項和Sn.

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}滿足an+1=an2-nan+1,

(1)當a1=2時,求a2,a3,a4,并猜想an的通項公式;

(2)當a1≥3時,證明對所有n≥1有an≥n+2.

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