在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點O為圓心的圓被直線:x-
3
y+4=0截得的弦長為2
3

(Ⅰ)求圓O的方程;
(Ⅱ)若斜率為2的直線l與圓O相交于A,B兩點,且點D(-1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部,求直線L在y軸上的截距的取值范圍.
考點:直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)設(shè)x2+y2=r2,由已知條件求出r=
7
,由此能求出圓的方程為x2+y2=7.
(Ⅱ)設(shè)斜率為2的直線l的方程:y=2x+b,與圓O相交于A,B兩點,聯(lián)立
x2+y2=7
y=2x+b
,得5x2+4bx+b2-7=0,由此能求出直線l在y軸上的截距的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)設(shè)x2+y2=r2,
圓心(0,0)到直線:x-
3
y+4=0
的距離d=2,
又截得的弦長為2
3
,
所以r=
7
,圓的方程為x2+y2=7.(4分)
(Ⅱ)設(shè)斜率為2的直線l的方程:y=2x+b,
與圓O相交于A,B兩點,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立
x2+y2=7
y=2x+b
,得5x2+4bx+b2-7=0,
△=140-4b2>0
x1+x2=-
4b
5
x1x2=
b2-7
5
(5分)
已知點D(-1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部,所以
DA
DB
<0
DA
DB
=(x1+1,y1)•(x2+1,y1)=5xxx2+(2b+1)(x1+x2)+b2+1
(10分)
=
2b2
5
-
4b
5
-6<0
,解得-3<b<5,滿足△>0,
所以直線l在y軸上的截距的取值范圍為(-3,5).(12分)
點評:本題考查圓的方程的求法,考查直線在y軸上截距的取值范圍的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( 。
A、
πa3
6
B、
πa3
3
C、
a3
3
D、πa3

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求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
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5
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將函數(shù)y=sin(2x-
π
3
)的圖象向左平移φ(φ>0)個單位,得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為f(x),若f(x)為奇函數(shù),則φ的最小值為
 

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已知點A(1,0),B(0,1),C(sinθ,cosθ)
(1)若|
AC
|=|
BC
|,求tanθ的值;
(2)若(
OA
+2
OB
)•
OC
=1,其中O為坐標(biāo)原點,求sin2θ的值.

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已知在等差數(shù)列{an}中,S3=9,a6=11.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若等比數(shù)列{bn}中,b1=a1,b2=a2,求{bn}的前n項和Tn

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函數(shù)y=
1
x
+2lnx的單調(diào)減區(qū)間為
 

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2
3
,那么這個三角形的形狀為
 

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