Question

已知三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R），函數(shù)f（x）在x=2處取得極值-4．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于函數(shù)f（x）在x=2處取得極值-4，可得

f′(2)=0 f(2)=-4

，解得即可．
（2）由（1）知f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）在x=2處取得極值-4，
∴

f′(2)=0 f(2)=-4

，即

12+4a+b=0 8+4a+2b=-4

解得

a=-3 b=0

．
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x³-3x²．
（2）由（1）知f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＞0得x＜0或x＞2，
令f′（x）＜0得 0＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．