已知f(x)=ex-t(x+1).
(1)若f(x)≥0對一切正實(shí)數(shù)x恒成立,求t的取值范圍;
(2)設(shè)g(x)=f(x)+
t
ex
,且A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)是曲線y=g(x)上任意兩點(diǎn),若對任意的t≤-1,直線AB的斜率恒大于常數(shù)m,求m的取值范圍;
(3)求證:1n+2n+…+(n-1)n≤nn(n∈N*).
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)f(x)≥0?t≤
ex
x+1
(x>0)恒成立.設(shè)p(x)=
ex
x+1
(x≥0),則p′(x)=
xex
(x+1)2
≥0
,從而求出p(x)在x∈[0,+∞]單調(diào)遞增,p(x)≥p(0)=1(x=1時(shí)取等號),進(jìn)而t≤1;
(2)設(shè)x1、x2是任意的兩實(shí)數(shù),且x1<x2
g(x2)-g(x1)
x2-x1
>m
,故g(x2)-mx2>g(x1)-mx1設(shè)F(x)=g(x)-mx,則F(x)在R上單增,而g′(x)=ex-t-
t
ex
≥2
ex•(
-t
ex
)
-t=-t+2
-t
=(
-t
+1)2≥3
故m<3;
(3)由(1)知,x+1≤ex=e(x+1)-1,∴x≤ex-1x=
k
n
(k=1,2,…,n-1)
,則(
k
n
)n≤(e
k
n
-1
)n=
ek
en
.從而1n+2n+…+(n-1)n≤nn(n∈N*).
解答: 解:(1)f(x)≥0?t≤
ex
x+1
(x>0)恒成立.
設(shè)p(x)=
ex
x+1
(x≥0),則p′(x)=
xex
(x+1)2
≥0

∴p(x)在x∈[0,+∞]單調(diào)遞增,p(x)≥p(0)=1(x=1時(shí)取等號),
∴t≤1;
(2)設(shè)x1、x2是任意的兩實(shí)數(shù),且x1<x2
g(x2)-g(x1)
x2-x1
>m
,
故g(x2)-mx2>g(x1)-mx1
設(shè)F(x)=g(x)-mx,
則F(x)在R上單增,
即F'(x)=g'(x)-m>0恒成立.
即對任意的t≤-1,x∈R,m<g'(x)恒成立.
而g′(x)=ex-t-
t
ex
≥2
ex•(
-t
ex
)
-t=-t+2
-t
=(
-t
+1)
2
-1≥3,
故m<3;
(3)由(1)知,x+1≤ex,∴x≤ex-1
x=
k
n
(k=1,2,…,n-1)

(
k
n
)n≤(e
k
n
-1
)n=
ek
en

n-1
k=1
(
k
n
)
n
n-1
k=1
ek
en
=
1
en
e(1-en-1)
1-e
=
e
e-1
(
1
e
-
1
en
)<
1
e-1
<1
,
n-1
k=1
(
k
n
)
n
<1,  ∴
n-1
k=1
knnn
,
∴1n+2n+…+(n-1)n≤nn(n∈N*)
點(diǎn)評:本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,求參數(shù)的范圍,不等式的證明,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,有一定的難度.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,PA=AB=BC=2AD,E是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DE⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角A-PD-E的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求下列函數(shù)的值域:
(1)y=x+
16
x
(8≤x≤16);
(2)y=
x
2
+
2
x
(0<x≤1);
(3)y=
x2+5
x2+4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

試用tan
α
2
表示sinα,并證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,∠A、B、C所對的邊分別是a、b、c,且滿足a2-2bccosA=(b+c)2
(1)求∠A的大;
(2)若a=3,求△ABC周長的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某公司在一次年會上舉行了有獎(jiǎng)問答活動(dòng),會議組織者準(zhǔn)備了10道題目,其中6道選擇題,4道填空題,公司一職員從中任取3道題解答.
(1)求該職員至少取到1道填空題的概率;
(2)已知所取的3道題中有2道選擇題,道填空題.設(shè)該職員答對選擇題的概率都是
4
5
,答對每道填空題的概率都是
3
5
,且各題答對與否相互獨(dú)立.用X表示該職員答對題的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校舉辦一場籃球投籃選拔比賽,比賽的規(guī)則如下:每個(gè)選手先后在二分區(qū)、三分區(qū)和中場跳球區(qū)三個(gè)位置各投一球,只有當(dāng)前一次球投進(jìn)后才能投下一次,三次全投進(jìn)就算勝出,否則即被淘汰.已知某選手在二分區(qū)投中球的概率為
4
5
,在三分區(qū)投中球的概率為
3
5
,在中場跳球區(qū)投中球的概率為
2
5
,且在各位置投球是否投進(jìn)互不影響.
(Ⅰ)求該選手被淘汰的概率;
(Ⅱ)該選手在比賽中投球的個(gè)數(shù)記為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ.(注:本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=3,an=2Sn+1+3n(n∈N*,n≥2).
(1)求證:數(shù)列{
Sn
3n
}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)令bn=
2n2-5n-3
an
,如果對任意n∈N*,都有bn+
2
9
t<t2成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的邊AB所在直線的方程為x-3y-6=0,M(2,0)滿足
BM
=
MC
,點(diǎn)T(-1,1)在AC邊所在直線上且滿足
AT
AB
=0.
(1)求AC邊所在直線的方程.
(2)求△ABC外接圓的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案