Question

當(dāng)a＞1時(shí)，不等式a^x＞x＞log_ax恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得y=a^x與y=log_ax互為反函數(shù)，故問(wèn)題等價(jià)于a^x＞x（a＞1）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決．

解答： 解：當(dāng)a＞1，由題意可得y=a^x與y=log_ax互為反函數(shù)，且關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
故問(wèn)題等價(jià)于a^x＞x（a＞1）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．
構(gòu)造函數(shù)f（x）=a^x-x，則f′（x）=a^xlna-1，
由f′（x）=0，得x=log_a（log_ae），
x＞log_a（log_ae）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
0＜x＜log_a（log_ae），f′（x）＜0，f（x）遞減．
則x=log_a（log_ae）時(shí)，函數(shù)f（x）取到最小值，
故有aloga(logae)-log_a（log_ae）＞0，解得a＞e

1

e

．
故答案為：（e

1

e

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題關(guān)鍵是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值求出參數(shù)的范圍．