Question

7．設(shè)a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（x∈R），
（1）若已知（1，2）為該函數(shù)圖象上一點，求a的值．
（2）證明：對于任意a，f（x）在R上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）代值計算即可求出a
（2）運用函數(shù)的定義判斷證明函數(shù)的單調(diào)性，先在取兩個值x₁，x₂后進(jìn)行作差變形，確定符號，最后下結(jié)論即可．

解答 解：（1）$2=a-\frac{2}{3}⇒a=\frac{8}{3}$．
（2）證明：設(shè)任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$（a-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}）-（a-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}）$=$\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}$=$\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
由于指數(shù)函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，所以${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$即${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，
又由2^x＞0，得${2^{{x_1}+1}}＞0$，${2^{{x_2}+1}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
所以，對于任意a，f（x）在R上為增函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)值，通過證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上為增函數(shù)，考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性的知識，屬于基礎(chǔ)題