Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，a∈R，a≠0． （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）若b∈R，且b≠0，證明：f（b）≥f（a），并說明等號(hào)成立的條件．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)閍=1，不等式變?yōu)閨x﹣2|+|x﹣1|＞3， 當(dāng)x＞2時(shí)，有2x﹣3＞3，
∴x＞3
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，有2﹣x+x﹣1＞3，
∴x∈φ
當(dāng)x＜1時(shí)，有3﹣2x＞3，
∴x＜0
所以該不等式的解集為（﹣∞，0）∪（3，+∞）
證明：（Ⅱ）由題知f（a）=|a|，
f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|
≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|
即f（b）≥f（a），
所以等號(hào)成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)2a﹣b與b﹣a同號(hào)或它們至少有一個(gè)為零
【解析】（I）將a=1代入，不等式化為具體的絕對(duì)值不等式，然后討論解之；（Ⅱ）由題知f（a）=|a|，f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，得證．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．