Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，平面，，，，分別是線段，的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，通過證明四邊形HGFD是平行四邊形來證明GF∥DH，由線面平行的判定定理可得；

（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夾角的余弦值可得．

（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn)連接，，又是的中點(diǎn)，

所以，且，

又是中點(diǎn)，所以，

由四邊形是矩形得，，，

所以且.

從而四邊形是平行四邊形，所以，

∵DH平面ADE，GF平面ADE，∴GF∥平面ADE.

（Ⅱ）如圖，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，因?yàn)?/span>，所以.又平面，所以，.

以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，則，，，.

因?yàn)?/span>平面，所以為平面的法向量，設(shè)為平面的法向量. 又，

,即，取，

，，

所以平面與平面所成角的余弦值為.