Question

已知y=f（x）在R上的圖象是一條連貫的曲線，且對于?∈R，f′（x）均存在，當x≠0時，f′（x）+

f(x)

x

＞0，則關于x的函數(shù)g（x）=f（x）+

1

x

的零點的個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：將求g（x）的零點個數(shù)轉化為求xg（x）的最值問題，由已知求出h（x）=xg（x）＞0，得出g（x）＞0恒成立．

解答： 解：∵當x≠0時，f′（x）+

f(x)

x

＞0，
即

xf′(x)+f(x)

x2

＞0
令h（x）=xf（x）+1，
∴h′（x）=f（x）+xf′（x），
∴x＞0時，h（x）單調遞增，
x＜0時，h（x）單調遞減，
∴h（x）_min=h（0）=1＞0，
∴x≠0時，g（x）＞0恒成立，
故零點的個數(shù)是0個，
故答案為：0

點評：本題考查了函數(shù)的零點問題，滲透了轉化思想，導數(shù)問題，函數(shù)的單調性問題，構造函數(shù)是解決本題的關鍵．