考點(diǎn):函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,基本不等式
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:構(gòu)建函數(shù)F(x)=ax,G(x)=logax,h(x)=4-x,則h(x)與F(x),G(x)的交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為m、n,注意到F(x)=ax,G(x)=logax,關(guān)于直線y=x對(duì)稱,可得m+n=4,再用“1”的代換,利用基本不等式,即可得出結(jié)論.
解答:
解:由題意,構(gòu)建函數(shù)F(x)=a
x,G(x)=log
ax,h(x)=4-x,
則h(x)與F(x),G(x)的交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為m、n.
注意到F(x)=a
x,G(x)=log
ax,關(guān)于直線y=x對(duì)稱,可以知道A,B關(guān)于y=x對(duì)稱,
由于y=x與y=4-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,∴m+n=4.
則
+
=
(
+
)(m+n)=
(2+
+
)≥
(2+2)=1,
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí),等號(hào)成立,故
+
的最小值為1,
故答案為:1.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查基本不等式的運(yùn)用,考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力,求出m+n=4,正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.