Question

若a＞1，設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+x-4的零點(diǎn)為m，g（x）=log_ax+x-4的零點(diǎn)為n，則

1

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：構(gòu)建函數(shù)F（x）=a^x，G（x）=log_ax，h（x）=4-x，則h（x）與F（x），G（x）的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為m、n，注意到F（x）=a^x，G（x）=log_ax，關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可得m+n=4，再用“1”的代換，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意，構(gòu)建函數(shù)F（x）=a^x，G（x）=log_ax，h（x）=4-x，
則h（x）與F（x），G（x）的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為m、n．
注意到F（x）=a^x，G（x）=log_ax，關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可以知道A，B關(guān)于y=x對(duì)稱，
由于y=x與y=4-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，∴m+n=4．
則

1

m

+

1

n

=

1

4

（

1

m

+

1

n

）（m+n）=

1

4

（2+

n

m

+

m

n

）≥

1

4

（2+2）=1，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)，等號(hào)成立，故

1

m

+

1

n

的最小值為1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，求出m+n=4，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．