Question

【題目】已知數(shù)列和滿足：，，，其中為實數(shù)，為正整數(shù)．

（Ⅰ）證明：對任意的實數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）證明：當時，數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅲ）設為數(shù)列的前項和，是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見詳解；（Ⅱ）見詳解；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）假設是等比數(shù)列，根據(jù)和建立等式，若無解，說明假設不成立；（Ⅱ）根據(jù)和求出和的關系，再根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（Ⅲ）時，成立；，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式解不等式.

（Ⅰ）證明：假設存在一個實數(shù)，使是等比數(shù)列，則有，

即，矛盾．

所以不是等比數(shù)列．

（Ⅱ）證明：

.

又．由上式知，

故當時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.

（Ⅲ）當時，由（Ⅱ）得，

于是，

當時，，從而．上式仍成立.

要使對任意正整數(shù)，都有.

即.

令，則

當為正奇數(shù)時，：當為正偶數(shù)時，，

的最大值為.

于是可得.

綜上所述，存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有；

的取值范圍為.