Question

已知動圓E過定點M（0，2），且在x軸上截得弦長為4，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）點A為直線l：x-y-2=0上任意一點，過A做曲線C的切線，切點分別為P、Q，求證：直線PQ恒過定點，并求出該定點．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：證明題,綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為E（x，y），由動圓E過定點M（0，2），且在x軸上截得弦長為4，即可列式求得曲線C的方程；
（2）設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，與（1）中求得的曲線C的方程聯(lián)立，消去y得：x²-4kx-4b=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），結(jié)合韋達定理可求得以點P為切點的切線的方程為y=

1

2

x₁x-

1

4

x12，同理可得過點Q的切線的方程為y=

1

2

x₂x-

1

4

x22，二式聯(lián)立可求得交點A的坐標(biāo)，將所求的點A的坐標(biāo)代入直線l的方程x-y-2=0，即可證得直線PQ恒過定點，并求出該定點．

解答： （1）解：設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為E（x，y），依題意，

(x-0)2+(y-2)2

=

y2+4

，
化簡得：x²=4y，
所以曲線C的方程為x²=4y；
（2）證明：設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，由

x2=4y y=kx+b

，消去y得：x²-4kx-4b=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2=4k x1x2=-4b

，且△=16k²+16b．
以點P為切點的切線的斜率為k_P=

1

2

x₁，其切線方程為y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），
即y=

1

2

x₁x-

1

4

x12，
同理過點Q的切線的方程為y=

1

2

x₂x-

1

4

x22，
依題意，兩條直線的交點為A（x_A，y_A）在直線l：x-y-2=0上，
所以

xA= x1+x2 2 =2k yA= x1x2 4 =-b

，即A（2k，-b），
則：2k-（-b）-2=0，即b=2-2k，
所以直線y=kx+2-2k，即y=k（x-2）+2，顯然該直線恒過定點（2，2）（證畢）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，著重考查直線方程與圓錐曲線方程的聯(lián)立及韋達定理的應(yīng)用，考查化歸思想、方程思想與綜合運算能力，屬于難題．