Question

【題目】設函數(shù) 的定義域為 ，值域為 ，如果存在函數(shù) ，使得函數(shù) 的值域仍是 ，那么稱 是函數(shù) 的一個等值域變換.
（1）判斷下列函數(shù) 是不是函數(shù) 的一個等值域變換？說明你的理由；
① ；
② .
（2）設 的定義域為 ，已知 是 的一個等值域變換，且函數(shù) 的定義域為 ，求實數(shù) 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：① ，x>0，值域為R ，
,t>0,由g(t)2可得y=f[g(t)]的值域為[1,+∞).
則x=g(t)不是函數(shù)y=f(x)的一個等值域變換；
② ，即 的值域為 ，
當 時， ，即 的值域仍為 ，所以 是 的一個等值域變換，故①不是等值域變換，②是等值域變換；
（2）解： 定義域為 ，因為 是 的一個等值域變換，且函數(shù) 的定義域為 ， 的值域為 ，
，
恒有 ，解得 .
【解析】（1）在①中，函數(shù) f ( x )的值域為R，函數(shù)y=f[g(t)]的值域為[1,+∞).所以①不是一個等值域變換。在②中f ( x ) 的值域為 [ , + ∞ )，y = f [ g ( t ) ] 的值域仍為 [, , + ∞ )，所以①不是等值域變換，②是等值域變換。
（2）由題意可以得x = g ( t ) = , t ∈ R 的值域為 [ 2 , 8 ],通過2≤≤8 2 ( t 2 + 1 ) ≤ m t 2 3 t + n ≤ 8 ( t 2 + 1 )，可以求出m、n的值。
【考點精析】利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域?qū)︻}目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的．