Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在軸右側(cè)，原點(diǎn)和點(diǎn)都在圓上，且圓在軸上截得的線段長度為3．

（1）求圓的方程；

（2）若，為圓上兩點(diǎn)，若四邊形的對角線的方程為，求四邊形面積的最大值；

（3）過點(diǎn)作兩條相異直線分別與圓相交于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率分別為，，且，試判斷直線的斜率是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是定值，理由詳見解析．

【解析】

（1）設(shè)出圓的一般方程代入三點(diǎn)坐標(biāo)，可得圓方程，配方后可得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求出圓心到直線的距離，由勾股定理求得弦長，由小于半徑得的一個(gè)范圍，由在直線兩側(cè)又得一個(gè)范圍，綜合即得的取值范圍，然后分別求出到直線的距離，得四邊形面積，可得最大值．

（3）設(shè)，與圓方程聯(lián)立，由于直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，因此由韋達(dá)定理可求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即得．

（1）由已知圓過，，三點(diǎn)

設(shè)圓方程為，則有

，解得

所以圓方程為，即．

（2）由（1）可知，半徑，

則到距離，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，

由解得；

由，在兩側(cè)，，，

所以，

到距離，到距離，

所以四邊形的面積，

所以時(shí)，四邊形面積最大為．

（3）由題意可設(shè)

由可得，

設(shè)，則，

所以，，

同理，

因?yàn)?/span>，所以，

所以為定值．