Question

3．已知函數(shù)f（x）=lg（3+x）-lg（3-x）
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若f（a）=4，求f（-a）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0列不等式組求解定義域．
（2）利用定義證明其單調(diào)性．
（3）判斷函數(shù)的奇偶性，f（a）=4，求解f（-a）的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lg（3+x）-lg（3-x）
其定義域滿足：$\left\{\begin{array}{l}{3+x＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-3＜x＜3．
故得f（x）的定義域數(shù)為{x|-3＜x＜3}．
（2）由（1）可得f（x）的定義域數(shù)為{x|-3＜x＜3}．設(shè)-3＜x₁＜x₂＜3，
則f（x₁）-f（x₂）=lg（3+x₁）-lg（3-x₁）-lg（3+x₂）+lg（3-x₂）=lg$\frac{（3+{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}{（3+{x}_{2}）（3-{x}_{1}）}$=lg$\frac{9+3（{x}_{1}-{x}_{2}）-{{x}_{2}x}_{1}}{9-3（{x}_{1}-{x}_{2}）-{x}_{1}{x}_{2}}$
因?yàn)?+3（x₁-x₂）-x₁x₂＞9+（x₂-x₁）-x₁x₂＜0，
∴$\frac{9+3（{x}_{1}-{x}_{2}）-{{x}_{2}x}_{1}}{9-3（{x}_{1}-{x}_{2}）-{x}_{1}{x}_{2}}$＜1，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）是（-3，3）上的增函數(shù)；
（3）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?3，3）．
∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵f（-x）=lg（3-x）+lg（3+x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
∴f（a）=4，則f（-a）=f（a）=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域的求法和單調(diào)性的判斷，奇偶性的運(yùn)用，具有一定的綜合性質(zhì)，屬于中檔題．