Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，且滿足a_n+1=S_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列．
（2）求S₁+S₂+…+S_n．

Answer 1

分析 （1）由滿足a_n+1=S_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．可知，S_n+1-S_n=S_n+2ⁿ⁺¹，即$\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=1．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可知，$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=1+n-1=n，即S_n=n•2ⁿ，再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：由滿足a_n+1=S_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．可知，S_n+1-S_n=S_n+2ⁿ⁺¹，即$\frac{{S}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=1．
所以數(shù)列$\{\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}\}$是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）可知，$\frac{{S}_{n}}{{2}^{n}}$=1+n-1=n，即S_n=n•2ⁿ，
令T_n=S₁+S₂+…+S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
整理得：T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．