Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=ax²-x（a∈R），
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點；
（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）令f′（x）=lnx+1，得x=

1

e

，分別解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出單調(diào)區(qū)間，判斷出極值點．
（2）在x＞0時，f（x）≤g（x）恒成立?ax≥lnx+1，即a≥

lnx

x

+

1

x

對?x＞0恒成立．令h（x）=

lnx

x

+

1

x

，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：（1）令f′（x）=lnx+1，得x=

1

e

，
當x∈(0，

1

e

)時，f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）在(0，

1

e

)上單調(diào)遞減；
當x∈(

1

e

，+∞)時，f′（x）＞0，則函數(shù)f（x）在(

1

e

，+∞)上單調(diào)遞增．
綜上可得：函數(shù)f（x）在(0，

1

e

)上單調(diào)遞減，在(

1

e

，+∞)上單調(diào)遞增．
∴f（x）的極小值點為x=

1

e

．
（2）在x＞0時，f（x）≤g（x）恒成立?ax≥lnx+1，即a≥

lnx

x

+

1

x

對?x＞0恒成立．
令h（x）=

lnx

x

+

1

x

，則h′(x)=-

lnx

x2

，
當0＜x＜1時，lnx＜0，則h′（x）＞0，故此時h（x）單調(diào)遞增；
當1＜x時，lnx＞0，則h′（x）＜0，此時h（x）單調(diào)遞減．
故h（x）_max=h（1）=1，
∴a≥1．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了分離參數(shù)方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．