Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為

π

2

，且圖象上一個(gè)最高點(diǎn)M（

π

6

，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意得f（x）的最小正周期T=π，有ω=

2π

T

=

2π

π

=2，又由M（

π

6

，2）是最高點(diǎn)，得A=2，且當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）有最大值．可得sin（2×

π

6

+φ）=sin（

π

3

+φ）=1，解得φ=

π

6

+2kπ，k∈Z．又由0＜φ＜

π

2

，可得φ=

π

6

．從而可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z；令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意得f（x）的最小正周期T=π，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
又由M（

π

6

，2）是最高點(diǎn)，得A=2，
且當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）有最大值．
∴sin（2×

π

6

+φ）=sin（

π

3

+φ）=1，
∴

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即φ=

π

6

+2kπ，k∈Z．
又∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z；
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z；
所以f（x）在[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）上單調(diào)遞增，在[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．