Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4…）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：對一切n∈N^*，有

n

k=1

a_k²＜

7

6

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，

1

an+1

=

n-an

(n-1)an

=

n

(n-1)an

-

1

n-1

，從而

1

nan+1

-

1

(n-1)an

=-（

1

n-1

-

1

n

），進(jìn)而得到

n-1

k=2

[

1

kak+1

-

1

(k-1)ak

]=-（1-

1

n-1

），由此能求出a_n=

1

3n-2

，n∈N^*．
（2）當(dāng)k≥2時(shí)，ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k-1)

=

1

3

(

1

3k-4

-

1

3k-1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明對一切n∈N^*，有

n

k=1

a_k²＜

7

6

．

解答： （1）解：∵a₁=1，a₂=

1

4

，且a_n+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4…），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

1

an+1

=

n-an

(n-1)an

=

n

(n-1)an

-

1

n-1

，
兩邊同時(shí)除以n，得

1

nan+1

=

1

(n-1)an

-

1

n(n-1)

，
∴

1

nan+1

-

1

(n-1)an

=-（

1

n-1

-

1

n

），
∴

n-1

k=2

[

1

kak+1

-

1

(k-1)ak

]=-

n-1

k=2

(

1

k-1

-

1

k

)=-（1-

1

n-1

）
∴

1

(n-1)an

-

1

a2

=-（1-

1

n-1

），n≥2，
∴

1

(n-1)an

=

1

a2

-(1-

1

n-1

)=

3n-2

n-1

，
∴a_n=

1

3n-2

，n≥2，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=

1

3n-2

，n∈N^*．
（2）證明：當(dāng)k≥2時(shí)，ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k-1)

=

1

3

(

1

3k-4

-

1

3k-1

)，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

n

k=1

ak2=1+

n

k=2

ak2＜1+

1

3

[（

1

2

-

1

5

）+（

1

5

-

1

8

）+…+（

1

3n-4

-

1

3n-1

）]
=1+

1

3

(

1

2

-

1

3n-1

)＜1+

1

6

=

7

6

，
又n=1時(shí)，a12=1＜

7

6

，
∴對一切n∈N^*，有

n

k=1

a_k²＜

7

6

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．