Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-

1

2

）x+c（a≠0）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x=1處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=lnx-f（x）f′（x），求g（x）的最大值及相應(yīng)的x值；
（3）對(duì)于任意正數(shù)x，恒有f（x）+f（

1

x

）-2≥（x+

1

x

）•lnm，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=ax²+（b-

1

2

）x+c（a≠0）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)可得f（0）=c=0，從而求導(dǎo)f′（x）=2ax+（b-

1

2

），從而得到f′（1）=2a+（b-

1

2

）=1且f（1）=a+b-

1

2

=0；從而解得；
（2）化簡(jiǎn)g（x）=lnx-f（x）f′（x）=lnx-2x³+3x²-x；求導(dǎo)g′（x）=

(x-1)(6x2+1)

x

；從而求最值；
（3）x＞0時(shí)，不等式x²+

1

x2

-（x+

1

x

）-2≥（x+

1

x

）•lnm恒成立，令x+

1

x

=t，（t≥2），則lnm≤t-

4

t

-1；從而求得．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+（b-

1

2

）x+c（a≠0）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴f（0）=c=0，
∴f′（x）=2ax+（b-

1

2

），
由函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為x-y-1=0知，
f′（1）=2a+（b-

1

2

）=1且f（1）=a+b-

1

2

=0；
解得a=1，b=-

1

2

；
∴f（x）=x²-x．
（2）g（x）=lnx-f（x）f′（x）=lnx-2x³+3x²-x；
∵g′（x）=

(x-1)(6x2+1)

x

；
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減．  
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有最大值，且g_max（x）=0；
（3）x＞0時(shí)，不等式x²+

1

x2

-（x+

1

x

）-2≥（x+

1

x

）•lnm恒成立，
令x+

1

x

=t，（t≥2），則lnm≤t-

4

t

-1；
∴l(xiāng)nm≤（t-

4

t

-1）_min=-1；
∴0＜m≤

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查了換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．